Polinômio de Gauss: uma investigação da origem do conceito e a relação com coeficiente binomial

Abstract

O foco principal deste trabalho é explorar a origem do conceito de polinômios de Gauss ou coeficiente q-binomial, relacionando suas propriedades com o coeficiente binomial. Essa estrutura pode ser usada em uma infinidade de interpretações combinatórias estudadas no Ensino Médio e início do Ensino Fundamental II.  Os coeficientes binomiais aparecem naturalmente como multiplicadores na expansão de , onde  e  são números reais. Esses coeficientes possuem uma estreita relação com as combinações simples e são amplamente utilizados em combinatória. Eles possuem uma riqueza de identidades que podem ser demonstradas tanto por métodos algébricos quanto combinatórios. A ideia principal deste trabalho é apresentar uma diversidade de propriedades inerentes ao conceito de polinômios de Gauss e, ao mesmo tempo, calcular o limite quando  tende a . Observa-se que o resultado gera identidades provenientes do coeficiente binomial. Essa função polinomial é inicialmente definida por meio de uma função racional, mas ao longo do trabalho, observa-se que ela pode ser representada como uma função polinomial na variável , com . Ao expandir essa função polinomial, obtemos coeficientes que carregam informações de problemas de natureza combinatória. Essa característica interessante permite ao docente estabelecer uma conexão entre conceitos algébricos e combinatórios.  Uma outra propriedade interessante inerente ao coeficiente binomial é a relação estendida de Stifel para o polinômio de Gauss que permite a construção de um triângulo aritmético, explorando a natureza geométrica para resolver problemas combinatórios e algébricos. No entanto, o objetivo é descrever a origem do conceito e apresentar uma maneira diferente de introduzir uma classe de polinômios, explorando as operações algébricas entre eles e unindo, de maneira elegante, a Álgebra com a Análise Combinatória.